1.2. Преобразование параллельных линий
Прямую линию можно определить с помощью двух векторов, задающих координаты ее конечных точек. Расположение и направление линии, соединяющей две эти точки, может изменяться в зависимости от положения векторов.
Результатом преобразования двух параллельных линий с помощью (2х2)-матрицы снова будут две параллельные линии. Это можно увидеть, рассмотрев линию между точками [А] = [x1 y1], [В] = [х2 y2] и параллельную ей линию, проходящую между точками E и F. Покажем, что для этих линий любое преобразование сохраняет параллельность. Так как АВ, EF и A*B* и E*F* параллельны, то угол наклона линий АВ и EF определяется следующим образом:
| m = | y2 - y1 x2 - x1 |
Преобразуем конечные точки АВ, воспользовавшись матрицей общего преобразования размером (2х2):
|
A B |
|
[T] = | |
x1 y1 x2 y2 |
|
|
a b c d |
|
= | |
ax1 + cy1 bx1 + dy1 ax2 + cy2 bx2 + dy2 |
|
= | |
x1* y1* x2* y2* |
|
= | |
A* B* |
|
|
Наклон прямой А*В* определяется следующим образом:
| m* = | (bx2 + dy2) - (bx1 + dy1) (ax2 + cy2) - (ax1 + cy1) |
= | b(x2 - x1) + d(y2 - y1) a(x2 - x1) + c(y2 - y1) |
или
| m* = | b + d | (y2 - y1) (x2 - x1) |
= | b + dm a + cm |
|
|
|||
| a + c | (y2 - y1) (x2 - x1) |
Так как наклон m* не зависит от х1, х2, y1, y2, а m, а, b, с и d одинаковы для EF и AB, то m* одинаково для E*F* и А*В*. Таким образом, параллельные линии сохраняют параллельность и после преобразования. Это означает, что при преобразовании (2х2) параллелограмм преобразуется в другой параллелограмм. Эти тривиальные выводы демонстрируют большие возможности использования матрицы преобразования для создания графических эффектов.