1.4. Поворот
Рассмотрим треугольник ABC (рис.1.2) и с помощью следующего преобразования повернем его на 90° против часовой стрелки относительно начала координат
 |
|
||
| [T] = | |
0 1 -1 0 |
|
|
|
Если использовать матрицу (3 х 2), состоящую из координат x и y вершин треугольника, то можно записать
 |
3 -1 4 1 2 1 |
|
|
= | |
3 -1 4 1 2 1 |
|
||||||||||
что является координатами результирующего треугольника A*B*C*. Поворот нв 180° относительно начала координат достигается путем следующего преобразования
|
|
||
| [T] = | |
-1 0 0 -1 |
|
|
|
а на 270° относительно начала координат - преобразованием
|
|
||
| [T] = | |
0 -1 1 0 |
|
|
|
Разумеется, что матрица тождественного преобразования
|
|
||
| [T] = | |
1 0 0 1 |
|
|
|
соответствует повороту вокруг начала координат на 0° или на 360°.
Как осуществить поворот вокруг точки начала координат на произвольный угол θ? Для ответа на этот вопрос рассмотрим вектор положения от начала координат до точки Р (рис. 1.3). Обозначим r - длину вектора, а φ - угол между вектором и осью х. Вектор положения поворачивается вокруг начала координат на угол θ и попадает в точку Р*. Записав векторы положений для Р и Р*, получаем:
Р = [х у] = [r cosφ r sinφ]
и
Р* = [x* у*] = [r соs(θ + φ) r sin(θ + φ].
Используя формулу для cos суммы углов, перепишем выражение для Р* следующим образом
Р* = [x* у*] = [r(cosφcosθ - sinφsinθ) r(соsφsinθ + sinφcosθ)].
Используя определения х и у, можно переписать Р* как
Р* = [x* у*] = [x cosθ - y sinθ x sinθ + y cosθ].
Таким образом, преобразованная точка имеет координаты
x* = x cosθ - y sinθ
y* = x sinθ + y cosθ.
Или в матричном виде
|
|
||
| [X*] = [X][T] = [x* y*] = [x y] | |
cosθ sinθ -sinθ cosθ |
|
|
|
Итак, преобразование поворота вокруг точки начала координат на произвольный угол θ задается матрицей
|
|
||
| [T] = | |
cosθ sinθ -sinθ cosθ |
|
|
|