1.13. Точки бесконечности

Однородные координаты предоставляют удобный и эффективный способ нанесения точек из одной системы координат в соответствующие точки альтернативной координатной системы. Бесконечная область в одной координатной системе часто преобразуется в конечную область в альтернативной системе. При некорректном выборе переноса параллельность прямых может не сохраняться. Однако точки пересечения после преобразования оказываются снова в точках пересечения. Данное свойство используется для определения однородных координат представления точек бесконечности.

Рассмотрим пару пересекающихся прямых, заданных уравнениями

x + y = 1
2x - 3y = 0

Прямые пересекаются в точке с координатами x = 3/5, y = 2/5. Запишем уравнение в виде х + y - 1 = 0, 2x - 3y = 0 и представим их в матричной форме

 

[x  y  1] =		1   2    1  -3   -1   0		= [0  0]

или

[X][M'] = [R]

Если матрица [М'] квадратная, то пересечение может быть получено путем обращения матрицы. Изменим систему исходных уравнений следующим образом:

x + y - 1 = 0 2x - 3y = 0 1 = 1

или в матричной форме

 

[X][M] = [R]

т.е.

 

[x  y  1] =		1   2   0  1  -3   0 -1   0   1		= [0  0  1]

Квадратная матрица, обратная данной, имеет следующий вид:

 

[M]-1 =		3/5   2/5   0  1/5  -1/5   0  3/5   2/5   1		=	1 5			3   2   0  1  -1   0  3   2   1

Умножая обе части уравнения на [M]^-1 и учитывая, что [М][М]^-1 = [I] является тождественной матрицей, получим

 

[x  y  1] =	1 5	[0  0  1]		1   2   0  1  -3   0 -1   0   1		= [3/5  2/5  1]

Таким образом, точка пересечения опять имеет координаты х = 3/5, y = 2/5.

Рассмотрим теперь две параллельные прямые, заданные следующим образом:

х + y = 1
х + y = 0.

По определению геометрии Евклида, точка пересечения двух параллельных прямых расположена в бесконечности. Продолжая предыдущие рассуждения, вычислим точку пересечения этих прямых, заданных в матричной форме,

 

[x  y  1] =		1   1   0  1   1   0 -1   0   1		= [0  0  1]

Однако несмотря на то что матрица квадратная, она не имеет обратной, так как две ее строки тождественны. Такая матрица называется сингулярной. Возможна иная формулировка с обратимой матрицей. Получим ее, переписывая систему уравнений следующим образом:

 

x + y - 1 = 0 x + y = 0 x = x

или в матричной форме

 

[x  y  1] =		1   1   1  1   1   0 -1   0   0		= [0  0  x]

В данном случае матрица не является сингулярной и существует обратная ей

 

[M]-1 =		0   0  -1  0   1   1 1  -1   0

Умножая обе части выражения на обратную матрицу, получаем

 

[x  y  1] = [0  0  x]		0   1  -1  0   1   1 1  -1   0		= [x  -x  0] = x[1  -1  0]

Результирующие однородные координаты [1  -1  0] определяют точку пересечения двух параллельных прямых, т.е. точку бесконечности. В частности, они представляют данную точку в направлении [1  -1] двумерного пространства. В общем виде двумерный координатный вектор [а  b  0] представляет точку бесконечности прямой аy - bx = 0. Приведем несколько примеров:

 

[1  0  0] - точка на положительной оси х, [-1  0  0] - точка на отрицательной оси х, [0  1  0] - точка на положительной оси у, [0  -1  0] - точка на отрицательной оси у, [1  1  0] - вдоль прямой y = х в направлении [1  1].

Вектор с однородной компонентой h = 0 действительно представляет точку бесконечности и может быть также интерпретирован как движение к пределу (табл. 1).

 

h	x*	y*	X	Y
1	4	3	4	3
1/2	8	6	4	3
1/3	12	9	4	3
.......
1/10	40	30	4	3
.......
1/100	400	300	4	3
.......

Таблица 1. Однородные координаты для точки [4  3].

Рассмотрим прямую y* = (3/4)x* и точку [X  Y  h] = [4  3  1]. Напомним, что в однородных координатах не существует единственного представления координатного вектора (табл. 1). Точка [4  3  1] представлена в однородных координатах по всем направлениям. Заметим, что в этой таблице при h => 0 отношение x*y* остается равным 3/4, как и требуется для сохранения уравнения. Кроме этого, обратим внимание на то, что следующая пара (x*y*), все точки которой располагаются на линии y* = (3/4)x*, быстро приближается к бесконечности. Таким образом, предел при h => 0 и есть точка бесконечности, заданная в однородных координатах как [X  Y  h] = [4  3  0].