2.1. Введение

Способность визуализировать или изображать пространственный объект является основой для понимания формы этого объекта. Кроме того, во многих случаях для этого важна способность вращать, переносить и строить виды проекций объекта. Все это легко демонстрируется на примере нашего знакомства с относительно сложным незнакомым объектом. Чтобы понять его форму, мы тут же начинаем вращать объект, отодвигать на расстояние вытянутой руки, передвигать вверх и вниз, вперед и назад и т.д. Чтобы сделать то же самое с помощью компьютера, мы должны распространить наш предшествующий двумерный анализ на три измерения. Основываясь на полученном опыте, мы немедленно вводим однородные координаты. Таким образом, точка в трехмерном пространстве [х  y  z] представляется четырехмерным вектором

 

[x'  y'  z'  h] = [x  y  z  1][T]

где [Т] является матрицей некоего преобразования. Как и ранее, преобразование из однородных координат в обычные задается формулой

[x*  y*  z*  1] =		x' h		y' h		z' h		1

Обобщенную матрицу преобразования размерности 4х4 для трехмерных однородных координат можно представить в следующем виде:

[T] =		a   b   с   p d   e   f   q g   i    j    r l   m   n   s

Матрицу преобразования 4х4 можно разделить на четыре отдельные части. Верхння левая (3x3)-подматрица задает линейное преобразование в форме масштабирования, сдвига, отражения и вращения. Левая нижняя (1х3)-подматрица задает перемещение, а правая верхняя (3х1)-подматрица - перспективное преобразование. Последняя правая нижняя (1х1)-подматрица задает общее масштабирование. Общее преобразование, полученное после применения этой (4 х 4)-матрицы к однородному вектору и вычисления обычных координат, называется билинейным преобразованием. В общем случае данное преобразование осуществляет комбинацию сдвига, локального масштабирования, вращения, отражения, перемещения, перспективного преобразования и общего масштабирования.