2.2. Трехмерное масштабирование

Диагональные элементы (4х4)-матрицы обобщенного преобразования задают локальное и общее масштабирование. Для иллюстрации этого рассмотрим преобразование

[X][T] = [x  y  z  1]		a   0   0   0 0   e   0   0 0   0    j    0 0   0   0   1		= [ax  ey  jz  1] = [x*  y*  z*  1]

которое показывает действие локального масштабирования.

Общее масштабирование можно осуществить, воспользовавшись четвертым диагональным элементом, т.е.

[X][T] = [x  y  z  1]		1   0   0   0 0   1   0   0 0   0   1   0 0   0   0   s		= [x'  y'  z'  1]

Обычные или физические координаты имеют вид

[х*  y*  z*  1] = [x'/s  y'/s  z'/s  1]

Заметим здесь, что, как и в случае двумерного общего масштабирования, однородный координатный множитель не равен единице. По аналогии с предыдущим обсуждением это означает преобразование из физического объема h = 1 в другой объем в 4-мерном пространстве. Преобразованные физические координаты получаются проецированием через центр 4-мерной координатной системы обратно в физический объем h = 1. Как и ранее, если s < 1, происходит однородное расширение. Если s > 1, происходит однородное сжатие координатного вектора.

Такой же результат можно получить, используя одинаковые коэффициенты локальных масштабирований. В этом случае матрица преобразования имеет вид

 

[T] =		1/s  0   0   0 0  1/s  0   0 0   0  1/s  0 0   0   0   1

Отметим, что здесь однородный координатный множитель равен единице, т.е. h = 1. Таким образом, все перобразование происходит в физическом объеме h = 1.