2.7. Поворот вокруг произвольной оси в пространстве

Обобщенный случай поворота вокруг произвольной оси в пространстве встречается часто, например в робототехнике, мультипликации, моделировании. Следуя логике предьщущего обсуждения, поворот вокруг произвольной оси в пространстве выполняется с помощью переноса и простых поворотов вокруг координатных осей. Так как метод поворота вокруг координатной оси известен, то основная идея заключается в том, чтобы совместить произвольную ось вращения с одной из координатных осей.

Предположим, что произвольная ось в пространстве проходит через точку (x₀, y₀, z₀) с направляющим вектором (c_x, c_y, c_z). Поворот вокруг этой оси на некоторый угол δ выполняется по следующему правилу:

 

1. выполнить перенос так, чтобы точка (x₀, y₀, z₀) находилась в начале системы координат;
2. выполнить соответствующие повороты так, чтобы ось вращения совпала с осью z (выбор координатной оси в данном случае произволен);
3. выполнить поворот на угол δ вокруг оси z;
4. выполнить преобразование, обратное тому, что позволило совместить ось вращения с осью z;
5. выполнить обратный перенос.

В общем случае для того, чтобы произвольная ось, проходящая через начало координат, совпала с одной из координатных осей, необходимо сделать два последовательных поворота вокруг двух других координатных осей. Для совмещения произвольной оси вращения с осью z сначала выполним поворот вокруг оси x, а затем вокруг оси y. Чтобы определить угол поворота α вокруг оси х, используемый для перевода произвольной оси в плоскость хz, спроецируем сначала на плоскость yz направляющий единичный вектор этой оси (рис. 2.1,а). Компоненты y и z спроецированного вектора равны c_y- и c_z-компонентам единичного направляющего вектора оси вращения.

Из рис. 1.8,а следует, что

 

и

cosα = cz d       sinα = cy d

(2.2)

 

После перевода в плоскость хz с помощью поворота вокруг оси х, z-компонента единичного вектора равна d, а x-компонента равна c_x, т.е. x-компоненте направляющего вектора, как это показано на рис. 2.1,b. Длина единичного вектора равна, конечно, 1. Таким образом, угол поворота  α вокруг оси y, необходимый для совмещения произвольной оси с осью z, равен

 

Тогда полное преобразование модсно представить в виде

 

где матрица переноса равна

[T] =		1     0     0     0 0     1     0     0 0     0     1     0 -x0  -y0  -z0   1

Матрица преобразования поворота вокруг оси х

 

[Rx] =		1      0       0      0 0   cosθ   sinθ  0 0  -sinθ   cosθ  0 0      0       0      1		=		1      0       0      0 0   cz/d   cy/d    0 0  -cy/d   cz/d    0 0      0       0      1

и вокруг оси y

 

[Ry] =		cos(-β)   0  -sin(-β)  0      0         1       0       0  sin(-β)    0   cos(-β) 0      0         0       0       1		=		d   0   cx   0 0   1    0   0 -cx  0   d   0 0   0    0   1

И, наконец, вращение вокруг произвольной оси задается матрицей поворота вокруг оси z

 

[Rδ] =		cosδ   sinδ  0   0 -sinδ   cosδ  0   0    0        0      1   0    0        0      0   1

На практике углы α и β не вычисляются явным образом. Элементы матриц поворотов [R_x] [R_y] в (2.4) получаются из уравнений (2.1)-(2.3) за счет выполнения двух операций деления и извлечения квадратного корня. Хотя данные результаты были разработаны для произвольной оси в первом квадранте, они применимы во всех квадрантах.

Если компоненты направляющего вектора произвольной оси неизвестны, то зная вторую точку (x₁, y₁, z₁) на оси, их можно определить, нормализовав вектор, соединяющий первую и вторую точки. Более точно вектор оси из (x₀, y₀, z₀) в (x₁, y₁, z₁) равен

 

Нормализация дает компоненты направляющего вектора:

[cx  cy  cz] =

[(x1 - x0) (y1 - y0) (z1 - z0)] [(x1 - x0)2 + (y1 - y0)2 + (z1 - z0)2]1/2