2.10. Аксонометрические проекции

Одна ортографическая проекция не может дать представления об общей трехмерной форме объекта. Это ограничение можно преодолеть с помощью аксонометрических проекций. Аксонометрическая проекция образуется манипулированием объекта с помощью поворотов и перемещений таким образом, чтобы были видны по крайней мере три соседние грани. Результат затем проецируется с центром проекции, расположенным в бесконечности, на одну из координатных плоскостей, обычно на плоскость z = 0. Если грань не параллельна плоскости проекции, то аксонометрическая проекция не показывает истинную форму этой грани. Однако остаются постоянными относительные длины параллельных в исходном пространстве линий, т.е. параллельные линии одинаково укорачиваются (искажаются). Коэффициент искажения есть отношение длины проекции отрезка к его истинной длине. Представляют интерес три аксонометрические проекции: триметрическая, диметрическая и изометрическая. В триметрической проекции меньше всего ограничений, а в изометрической - больше всего. В самом деле, изометрическая проекция есть частный случай диметрической, а диметрическая проекция есть частный случай триметрической.

Аксонометрическая проекция из трехмерного пространства на плоскость z = n может быть получена следующим образом:

 

[X  Y  Z  H] = [x  y  z  1]		1   0   0   0 0   1   0   0 0   0   0   0 0   0   n   1

Заметим, что это преобразование представляет собой перенос изображения в направлении оси z на величину n, обусловленный преобразованием

 

[T'] =		1   0   0   0 0   1   0   0 0   0   1   0 0   0   n   1

который следует за проецированием из бесконечности в плоскость z = 0, заданным преобразованием

 

[T''] =		1   0   0   0 0   1   0   0 0   0   0   0 0   0   n   1

Как было указано ранее, аксонометрические проекции строятся произвольными поворотами вокруг любых координатных осей, совершаемыми в произвольном порядке, с последующим проецированием на плоскость z = 0. Общая матрица триметрической проекции равна

 

[T] = [Ry][Rx][Pz] =

cosφ   0  -sinφ  0     0      1      0     0  sinφ    0   cosφ 0     0      0      0     1

1      0       0      0 0   cosθ   sinθ  0 0  -sinθ   cosθ  0 0      0       0      1

1   0   0   0 0   1   0   0 0   0   0   0 0   0   0   1

=

cosφ   sinφ sinθ  0   0     0           cosθ     0   0  sinφ  -cosφ sinθ  0   0     0             0         0   1

где φ - угол поворота вокруг оси y, θ - угол поворота вокруг оси x.

В общем случае для триметрической проекции коэффициенты искажения по каждой из проецируемых главных осей (х, y и z) не равны друг другу. Наложение ограничений на коэффициенты уменьшает диапазон триметрических проекций. Однако для любой конкретной триметрической проекции коэффициент искажения вычисляют с помощью применения общей матрицы преобразования к единичным векторам вдоль главных осей. В частности,

[U][T] =		1   0   0   1 0   1   0   1 0   0   1   1		[T] =		xx*  yx*  0  1 xy*  yy*  0  1 xz*  yz*  0  1

где [U] - матрицаединичных векторов вдоль нетрасформированнхы осей x, y и z соотвественно, а [T] - общая матрица триметрической проекции. Тогда коээфициенты искажения вдоль спроецированных главных осей равны:

 

Пример 2.1. Триметрическая проекция.

 

Рассмотрим рис. 2.3., построенный с помощью поворота куба с отсеченным углом на угол φ = 30°, а затем поворота на угол θ = 45° вокруг оси x и последующего параллельного проецирования на плоскость z = 0. Координатный вектор куба с отсеченным углом

 

[X] =		0     0    1   1   0     1    1   1   1   0,5   1   1 0,5    1    1   1   0     1    1   1   0     0    0   1   1     0    0   1   1     1    0   1   0     1    0   1   1     1  0,5  1

Общая матрица триметрической проекции для данных углов равна

 

[T] = [Ry][Rx][Pz] =		0,926 0 0,378 0    0,134 0,935 -0,372 0    0 0 0 0    0 0 0 1

Вспоминая координатный вектор [X] (см. пример 2.1.), получим координаты

 

[X*] = [X][T] =		0,378 1,304 1,304 0,841 0,378 0 0,926 0,926 0 1,115     -0,327 -0,194 0,274 0,675 0,608 0 0,134 1,069 0,935 0,905     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Результат изображен на рис. 2.4.

 

Диметрическая проекция позволяет проводить измерения с одинаковым масштабным множителем по двум преобразованным главным осям. Измерение вдоль третьей оси требует другого масштабного множителя. Это может привести к путанице и ошибкам, если требуется точное масштабирование размеров спроецированного объекта. Изометрическая проекция решает эту проблему.

В изометрической проекции все три коэффициента искажения равны. Теперь приравняем квадраты коэффициентов искажения по осям y и z и получим:

 

Из предыдущего равенства и равенства (2.6) следует, что

 

Тогда

 

и φ = ± 45° Коэффициент искажения для изометрической проекции равен

 

В самом деле, изометрическая проекция есть частный случай диметрической с f_z = 0,8165

При построении изометрических проекций вручную важен угол, который составляет проекция оси х с горизонталью. Преобразование единичного вектора вдоль оси х с помощью матрицы изометрической проекции дает

 

[U*x] =		cosφ   sinφ sinθ  0   0     0           cosθ     0   0  sinφ  -cosφ sinθ  0   0     0             0         0   1		= [cosφ  sinφsinθ  0  1]

Тогда угол между проекцией оси х и горизонталью равен

 

поскольку sinφ = cosφ для φ = 45°. Следовательно,

 

Для построения изометрических проекций вручную обычно используется пластмассовый прямоугольный треугольник с углами 30° и 60°. Ниже приводится пример.

Пример 2.3. Изометрическая проекция.
Снова рассмотрим куб с отсеченным углом (см. пример 2.2) и построим изометрическую проекцию для φ = -45° и α = 35.26439°. Преобразование изометрического проецирования имеет вид:

 

[T] =		0.707   -0.408     0   0     0        0.816     0   0  -0.707        0       0   0     0             0       0   1

 

[X*] = [X][T] =		-0,707 0 0 -0,354 -0,707 0 0,707 0,707 0 0,354     -0,408 -0,816 -0,408 0,204 0,408 0 -0,408 0,408 0,816 0,204     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Результат изображен на рис. 2.5.