4.1. Представление пространственных кривых

Поверхности часто изображаются как сеть кривых, лежащих в ортогональных секущих плоскостях, с трехмерными контурами деталей. Такие сечения получают оцифровкой физической модели или чертежа и математическим подбором кривой, проходящей через все заданные точки. В данной главе рассматриваются два таких метода: кубические сплайны и параболическая интерполяция.

Другой подход состоит в том, что математическое описание кривых генерируется без изначального знания формы кривой. Его примеры - это кривые Безье и их обобщение до В-сплайнов. Эти методы отличаются тем, что кривая может не проходить ни через одну заданную точку. Контрольные точки определяют только направление изгиба.

Трехмерные кривые можно представить параметрически или непараметрически. Явное непараметрическое представление имеет вид

Неявное непараметрическое представление кривой как пересечения двух поверхностей задается уравнениями:

Общий параметрический вид пространственной кривой можно записать в виде:

где параметр t изменяется в определенных пределах t₁ <= t <= t₂. В приведенном выше явном непараметрическом представлении х можно рассматривать как параметр, х = t. Тогда эта же кривая имеет параметрическую форму