4.2. Кубические сплайны

Форма математического сплайна повторяет контур физическиго сплайна (рис. 4.1), т.е. гибкой деревянной или пластмассовой линейки, проходящей через определенные точки. Для изменения формы сплайна используются свинцовые грузики. Меняя их количество и расположение, получившуюся кривую стараются сделать более гладкой, красивой и «приятной для глаза».

 

Уравнение одного параметрического сегмента сплайна таково:

 

P(t) =

4 Σ i = 1

Bi t i-1

t1 <= t <= t2

где t₁ и t₂ - значения параметров в начале и конце сегмента. Р(t) - вектор к любой точке сегмента. Р(t) = [х(t)  y(t)  z(t)] - это векторно-значная функция, где три составляющие Р(t) - декартовы координаты вектора.

Коэффициенты B_i можно получить с помощью четырех специальных граничных условий для сплайнового сегмента (подставляя координаты двух концевых точек и приравнивая значения производных в них). Если решить полученную систему уравнений, то для концевых точек P₁ и P₂ можно записать:

P(t) = P1 + P1't +

3(P2 - P1) t22

-

2P1' t2

-

P2' t2

t2 +

2(P1 - P2) t23

-

P1' t22

-

P2' t22

t3

Эта формула определяет решение для одного сплайнового сегмента, но может быть легко обобщена на все сегменты, составляющие сплайн.